Hypothèse de Riemann

Pour une simple introduction, nous dirons que l’hypothèse de Riemann est une affirmation non vérifiée selon laquelle Riemann affirme que pour la fonction zêta avec s un nombre complexe ϛ(s)= ∑_(n=1)^(+∞)▒█(1/n^s ) admet pour son prolongement analytique des zéros complexes qui ont tous pour partie réelle ½.

Comment trouver les zéros non triviaux ou complexes de son analytique ?

Il existe une équation fonctionnelle ξ(s/2)= s(s-1)/2 Γ(s/2)ϛ(s) avec Γ(s/2) = ∫_(t=0)^(+∞)▒〖e^(-t) t^(s/2-1) dt〗 qui est en fait le pôle méromorphe de l’équation fonctionnelle. Le zéro non trivial du prolongement analytique est pour tout s/2, ξ(s/2) = 0 avec s un nombre complexe.

Ce qui veut dire que s(s-1)/2 Γ(s/2)ϛ(s) = 0 or ϛ(s) ≠ 0
voyons voir si quelles peuvent être les valeurs de s(s-1)/2=0 ou Γ(s/2)=0, pour Γ(s/2) ;


∫_(t=0)^(+∞)▒〖e^(-t) t^(s/2-1) dt〗 = ?

Posons e-t t(s/2-1)=y
ln(y) = -t + (s/2-1)ln⁡(t)
∫_0^(+∞)▒〖ln⁡(y)〗=∫_0^(+∞)▒〖((s/2-1) ln⁡(t)-t ) dt〗
=-∫_0^(+∞)▒tdt+∫_0^(+∞)▒〖(s/2-1) ln⁡(t)dt〗
=-∞+0+(s/2-1) ln⁡(+∞)-(s/2-1) ln⁡(0)
=-∞+∞-∞+∞
= 0
ln(y) = 0
y = 1
on vient de trouver que Γ(s/2) ≠ 0 ça nous reste la relation s(s-1)/2=0
s2 = s
(x + yi) 2=x + yi
X2 + 2xyi –y2-x-yi = 0 + 0i
x2-y2-x = 0
2xy-y = 0

Ce système d’équation n’admet pas de nombre complexe car y = 0,
Tandis que pour x2-x = 0 si 0<x<1 les solutions sont impossibles or pour x suffisamment grand x est égal à 0 ou à 1.
Comme conclusion les zéros non triviaux de la fonction zêta de son prolongement analytique n’existent nullement en se référant à l’équation fonctionnelle que Riemann a posée.