la constante d'Euler Mascheroni
Le nombre d’Euler –Mascheroni γ
On sait que la constante d’Euler –Mascheroni est
k=1∞1k-ln(1+1k)
Prenons alors l’expression 1/k - ln (1+1/k)
1/k – ln (k+1/k)
1/k – [ln (k + 1) – ln k
1/k – ln (k+1) + ln k
1/k + ln kk+1 avec k ϵ ℕ*
Expression 1/k + ln kk+1 est toujours irrationnelle en vérifiant pour tout k or la somme des irrationnels est un irrationnel.
Preuve
En prenant k variant de 1 à 10
k=1, 1- 0, 69314718… = 0,306852819…
k=2, ½ -0, 405365108… = 0,094534891…
k=3, 1/ 3- 0, 287682072…= 0, 04565126…
k=4, ¼ - 0, 223143551… = 0,026856449…
k=5, 1/5 - 0, 18232156…= 0,017678443…
k=6, 1/6 – 0, 154150679…= 0,012515986…
k=7, 1/7 - 0, 1333531392…= 0, 00932575…
k=8, 1/8 – 0, 117783035…= 0,007216965…
k=9, 1/9 – 0, 105360515…= 0,005750596…
k=10, 1/10 - 0, 095310179…= 0, 00389821…
cette somme ne privilégie pas forcément la rationalité de la constante d’Euler –Mascheroni notée γ.
L’autre preuve est que la série de 1/k
k=1)∞1k
tend vers 1 mais n’atteint pas la somme de 1 car limk→+∞1k = 0 ce qui fait que sa somme soit inférieure à 1 tout en tendant vers 1.
La somme de la série de ln(k/k+1)k=1 ∞lnkk+1 tendant vers -0,5 par des valeurs supérieures à - 0,5 si la constante d’Euler-Mascheroni devrait être rationnelle elle aurait eu pour valeur ½ ,car on aurait eu 1-0,5 = 0,5 avec 1 le majorant de la somme de 1/k et -0,5 le majorant de la somme de ln( k/(k+1)) .