Le nombre d’Euler –Mascheroni  γ

On sait que la constante d’Euler –Mascheroni  est

k=11k-ln⁡(1+1k)

Prenons alors l’expression 1/k  - ln (1+1/k)

1/k – ln (k+1/k)

1/k – [ln (k + 1) – ln k

1/k – ln (k+1) + ln k

1/k + ln kk+1  avec k ϵ *

Expression  1/k  + ln kk+1   est toujours irrationnelle en vérifiant pour tout k or la somme des irrationnels est un irrationnel.

Preuve

En prenant k variant de 1 à 10

k=1, 1- 0, 69314718… = 0,306852819…

k=2, ½ -0, 405365108… = 0,094534891…

k=3, 1/ 3- 0, 287682072…= 0, 04565126…

k=4, ¼ - 0, 223143551… = 0,026856449…

k=5, 1/5 - 0, 18232156…= 0,017678443…

k=6, 1/6 – 0, 154150679…= 0,012515986…

k=7, 1/7 - 0, 1333531392…= 0, 00932575…

k=8, 1/8 – 0, 117783035…= 0,007216965…

k=9, 1/9 – 0, 105360515…= 0,005750596…

k=10, 1/10 - 0, 095310179…= 0, 00389821…

cette somme ne privilégie pas forcément la rationalité de la constante d’Euler –Mascheroni  notée  γ.

L’autre preuve est que la série de 1/k
k=1)1k
 tend vers 1 mais n’atteint pas la somme de 1 car limk→+∞1k  = 0 ce qui fait que sa somme soit inférieure à 1 tout en tendant vers 1.

La somme de la série de ln(k/k+1)k=1 lnkk+1  tendant vers -0,5 par des valeurs supérieures à - 0,5 si la constante d’Euler-Mascheroni devrait être rationnelle elle aurait eu pour valeur ½  ,car on aurait eu 1-0,5 = 0,5 avec 1 le majorant de la somme de 1/k et -0,5 le majorant de la somme de ln( k/(k+1))  .