Conjecture de Syracuse

 

Une suite de Collatz s’obtient à partir d’un entier n de départ, on l’applique de manière itérative la fonction :

            n/2

T(n)

            (3n +1)/2

la suite est conjecturée du fait qu’à tout nombre n , la suite se termine par le cycle 4,2,1. Les nombreuses recherches ont été faites et ont donné des avancées significatives.[1]

Par ailleurs, la conjecture de plus en plus à devenir indécidable.

 

 

Equations collatziennes

On va seulement un exemple pour ébaucher les équations collatziennes.

Soit pour les nombre 3 dont on connaît la suite de Syracuse, nous pouvons créer un problème pour avoir une résolution.

Trouver  une équation et sa résolution sachant que la suite de Syracuse est à huit étapes   contenant deux nombres impairs et trois nombres pairs et en connaissant 4, 2 et 1 d’avance comme les trois derniers nombres de la suite.

x, 3x + 1,  3x + 12  ,9x + 52 ,9x + 54 , 4, 2, 1

9x + 54 suit 4 ce que  9x + 54  = 8 et x = 3  la suite devient  3,  10, 5, 16, 8, 4, 2, 1

Principes d’équations collatziennes

1.     La précision du nombre d’étapes.

2.     La description de la parité et de la non parité.

3.     Si le début commence par un nombre pair ou impair.

Il est à noter  que 2n  avec  n ϵ * 2n  de  la suite de Syracuse  étant égal à n étapes.

Approche de la résolution

Loin de toute imagination, la démonstration proposée est géométrique, on aura l’ordonnée et l’abscisse sur l’abscisse on ne se choisit que des impairs sur l’abscisse et sur les ordonnées on se choisit les nombres pairs, en prenant 1 pour intersection d’abscisse et d’ordonnée.

Prenons l’exemple de 7  qui sa suite collatzienne est 7, 11, 17, 26, 13, 20, 10, 5, 8, 4, 2, 1. Relions par un segment le plus grand nombre pair de la suite par le plus grand nombre impair de la suite  ainsi de suite jusqu’à relier 4 au plus petit nombre impair.

Pour une suite se terminant par un cycle leur formation géométrique doit obéir à certains principes

ü Les triangles 26, 17,1 et  20, 13, 1 sont semblables.

ü Le rétrécissement des segments se succèdent soit sur l’abscisse soit sur l’ordonnée

ü La dernière figure est de la même espèce qu’à la grande.

 

 

Cas particulier

 

Pour tout nombre 2n les figures se confondent toutes sur une droite et pour 5 la résolution admet qu’un seul triangle car il intervient dans le triangle de base ( la plus petite figure) de certains nombres et en raison de sa caractéristique du nombre impair le plus proche de la suite .

 

Comme théorème c’est l’énoncé en bon français et mathématiquement soignée des propriétés

 



[1] Problemes-syracuse.fr