résolution des conjectures de Goldbach et de dubner, un mot sur les nombres premiers

·        La conjecture de Dubner

Cette conjecture  s’énonce très simplement en ces termes :

« Soit un p-jumeau, un nombre premier ayant un jumeau, la somme de deux p-jumeaux nous donne un nombre pair. »

Prenons pour lemme cet énoncé :

« Pour tout p ϵ ℙ\ {2} tout p est un successeur d’un nombre pair donné »

Ce qui signifie qu’à part 2 tout nombre pair peut s’écrire comme p=2k+1 avec k ϵ ℕ*. Une question qui vient en tête est la suivante : Est-ce que le fait d’exclure 2 n’influencera pas la démonstration ? Eh bien non, car 2 n’est pas un p-jumeau.

Soient p et p’ deux p-jumeaux p = 2k + 1 et p’ = 2k’ + 1, alors p + p = 2(k + k’ +1) + 2, on peut poser  (k + k’ +1) = K ce qui donnera p + p’ = 2K +2 qui est un nombre pair.

·        Un mot sur les nombres premiers

Après quelques recherches, j’ai pu trouver que tout nombre premier est de la forme 2^xp^yq^z + 1 avec x, y, z ϵ ℕ et p, q ϵ ℙ et p ≠ q.

Exemples :

2 = 2⁰p⁰q⁰ + 1

29 = 2²7¹q⁰  +1

37= 2²3²q⁰ + 1 etc.

Avec ça il sera encore plus aisé de donner une forme globale de la conjecture sur l’infinité des nombre premiers jumeaux cousins et sexy, deux nombres premiers 2^xp^yq^z + 1 et  2^ap^bq^c

Sont jumeaux si :

2^xp^yq^z + 1 – (2^ap’^bq’^c + 1) = 2

En divisant partout par 2, on obtient :

2^x-1p^yq^z + 1 – 2^a-1p’^bq’^c = 1 : Equation des nombres premiers jumeaux.

Sont cousins :

2^xp^yq^z + 1 – (2^ap’^bq’^c + 1) = 2²

En divisant partout par 2², on obtient :

2^x-2p^yq^z + 1 – 2^a-2p’^bq’^c = 1 : Equation des nombres premiers cousins.

Sont sexy :

2^xp^yq^z + 1 – (2^ap’^bq’^c + 1) = 6

En divisant partout par 2, on obtient :

2^x-1p^yq^z + 1 – 2^a-1p’^bq’^c = 3

La résolution de ces conjectures sera de montrer que ces trois équations admettent une infinité des solutions dans ℕ pour a, b, c, x, y, z ϵ ℕ et p, q, p’, q’ ϵ ℙ.

·        Conjecture de Goldbach

Un des fameux  problèmes à être sur la liste de David Hilbert s’énonçant simplement :

«  Un nombre pair peut s’écrire comme la somme des nombres impairs. »

THEOREME D’AMMA

« Un nombre pair peut s’écrire comme le double produit d’un nombre premier et/ou comme étant la somme de deux nombres pairs dont le premier nombre est inférieur ou égal au second. Sur le premier, on soustrait un et sur le second, on ajoute un pour former  la somme des deux nombres premiers distincts.»

Démonstration du Théorème

·        P  = p’

Si p et p’ sont égaux ce qui fera que leur somme donnera 2p qui est  nombre pair.

4 = 2 + 2

10 = 5 + 5

22 = 11 + 11

·        P  ≠ p’

Soit 10 pouvant s’écrire comme 4 + 6  par  artifice de calcul en 1 et  - 1 puis grouper, on aura :

(4 - 1)  +  (6 + 1)  = 3 + 7

Afin d’éviter trop de vérifications pour des nombres astronomiques.

Posons la réciproque du deuxième cas ;

«  Pour tout nombre pair admettant une somme  des nombres premiers distincts sur le plus petit premier, on ajoute 1 et sur le plus grand premier , on retranche 1 pour  que cela donne une somme des deux pairs n et m tels n ≤ m. m est issu du plus grand premier et n issu du plus petit premier. »